Μια έξυπνη πρόταση στη θεωρία των πολυωνύμων

Ο Κων/νος Ξυλοπινάκας, μαθητής της Β' Λυκείου, ερευνά τη θεωρία των πολυωνύμων και κάνει τις δικές του προτάσεις πάνω στη συγκεκριμένη θεωρία. Όταν ρωτήθηκε σχετικά με τη δική του ανακάλυψη, μας είπε ότι η πρόταση για τη γραφή των διαιρετών τον απασχόλησε και στο δημοτικό, όπου προσπάθησε να υποδιπλασιάσει, αρχίζοντας τη διαδικασία από τα μισά του αριθμού, ενώ τώρα σκέφτηκε να "βάλει ρίζα" στον αριθμό, καταλήγοντας στην πρόταση που μας εξηγεί στη συνέχεια.

"Πολυώνυμο είναι μια παράσταση που μπορεί να γραφεί συναρτήσει ενός αγνώστου x ή, ακόμη, εκτός από τον  x  να περιέχει και παραμέτρους, αριθμούς που φαίνονται άγνωστοι αλλά θεωρούνται δεδομένοι. Μάλιστα τα πολυώνυμα βρίσκουν εφαρμογές και σε άλλες θετικές επιστήμες" δηλώνει ο Κωνσταντίνος, προλογίζοντας τη συμβολή του στη θεωρία των πολυωνύμων. Και συνεχίζει: "Η διαφορά ανάμεσα στο σχήμα Horner και το δικό μου "σχήμα των Τριών" (το ονόμασα έτσι προς τιμήν των Τριών Ιεραρχών, προστατών της Παιδείας, επειδή εκείνη τη μέρα άρχισα την εργασία μου) είναι πως ενώ το Horner διαιρεί με πολυώνυμα της μορφής x-ρ (όπου x: άγνωστος, ρ: παράμετρος ή αριθμός), κάτι περιορισμένο, με το νέο τέχνασμα μπορώ να διαιρώ με οποιοδήποτε πολυώνυμο, π.χ. 3x²+2x-1. Εκτός αυτού, οι πιθανότητες να γίνουν λάθη ελαχιστοποιούνται, διότι, ενώ στο σχήμα Horner πρέπει να κάνεις πάνω από μια φορά το σχήμα (κάτι συνάμα χρονοβόρο), εδώ κάνεις ένα σχήμα και εν συνεχεία προσθέτεις και πολλαπλασιάζεις -κάτι σαν παιχνίδι- και είσαι πιο σίγουρος πως έχεις το σωστό".

Η πρόταση του Κωνσταντίνου:

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΜΕ ΔΙΑΙΡΕΤΗ ΑΝΩ Χ-Ρ

Με το σχήμα Χόρνερ (Horner) επιτυγχάνεται η διαίρεση ενός Ρ(χ) με το διώνυμο χ-ρ, όπου προκύπτουν οι συντελεστές του πηλίκου και του υπολοίπου. Βέβαια υπάρχει ανάλογο σχήμα για το χ^κ-ρ, που είναι εξειδικευμένο, ενώ υπάρχουν άλλοι τρόποι (όπως εύρεση ΜΚΔ) που είναι δύσκολο να χρησιμοποιηθούν από όλους (λόγω του επιπέδου). Οπότε τι γίνεται όταν θέλω να διαιρέσω π.χ. με το x³+αχ²+βχ+γ;

Τότε κάνω το εξής σχήμα:

Συντελεστές Δ(χ) Αντίθετοι συντελεστές δ(χ)

a	b	c		d	e	f	-α,-β,-γ
				-γa	-γχ	-γζ
		-βa		-βχ	-βζ
	-αa	-αχ		-αζ
a	b-αa=x	c-aβ-αχ=ζ		d-aγ-βχ-αζ	e-γχ-βζ	f-γζ

Συντελεστές π(χ) Διαχωριστική γραμμή Συντελεστές υ(χ)

Τι κάνω:

• Κάνω πίνακα με ν+2 γραμμές, όπου ν ο βαθμός του διαιρέτη, και μ+1 στήλες, όπου μ βαθμός διαιρετέου, και τέλος ένα κουτάκι όπου γράφονται οι αντίθετοι των συντελεστών*
• Στην πρώτη σειρά γράφω τους συντελεστές του διαιρετέου
• Σκιαγραφώ, αρχίζοντας από την πρώτη στήλη, τα κουτάκια μεταξύ της πρώτης και της τελευταίας σειράς, μειώνοντας κατά ένα, ενώ μετά την διαχωριστική γραμμή αφήνω ένα άβαφο και αρχίζω να σκιαγραφώ (βάφω) αυξάνοντας κατά ένα, όπως φαίνεται και στο σχήμα (με κόκκινο χρώμα τα έβαψα)
• Κατεβάζω, όπως στο Χόρνερ, και πολλαπλασιάζω όπως στο σχήμα, μέχρι που θα γεμίσει η κάτω σειρά
• Στην κάτω σειρά, πριν την διαχωριστική γραμμή είναι οι συντελεστές του πηλίκου, ενώ μετά είναι του υπολοίπου, και τελείωσα!

Κόλπα για να επιβεβαιώνω το σχήμα:

• Μετά την διαχωριστική γραμμή τα κουτάκια είναι όσος και ο βαθμός του διαιρέτη
• Τα κουτάκια που γραμμοσκιάζω θα είναι όσος ο βαθμός του διαιρέτη
• Αν ενώσω τα κουτάκια από τις δύο μεριές, τότε σχηματίζεται τετράγωνο, πλευράς όσο και ο βαθμός του διαιρέτη

______________

* πάντα ο συντελεστής του μεγαλύτερου βαθμού θα είναι ένα. Γι αυτό αν είναι διάφορο της μονάδας, θα πολλαπλασιάζω με τον αντίστροφο, ώστε να γίνει άσσος. Δεν μας πειράζει οι άλλοι συντελεστές να είναι δεκαδικοί. Μετά όμως, θα πολλαπλασιάζετε μόνο το υπόλοιπο με τον συντελεστή (όχι με τον αντίστροφο)

Απόδειξη:

Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι: Ρ(χ)=δ(χ)π(χ)+υ(χ). Εγώ πολλαπλασιάζω με 1/κ, όπου κ συντελεστής του μεγαλύτερου όρου, και κ≠0, άρα [Ρ(χ)]κ=[δ(χ)π(χ)+υ(χ)]κ ↔ Ρ(χ) κ=[δ(χ) κ]π(χ)+υ(χ) κ

Παρατηρώ πως π΄(χ)= π(χ), ενώ το υ΄(χ) είναι το υ(χ) κ, άρα αρκεί να πολλαπλασιάσω με το 1/κ και θα έχω τα π(χ) και υ(χ) που ψάχνω.

ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Για να γίνει κατανοητή η θεωρία, ώστε να γίνεται σωστά η διαδικασία…

Σελίδα 139, άσκηση 1 Α΄ ομάδος :

iv) P(x)=2x⁴+4x³-5x²+3x-2, g(x)=x²+2x-3, οι συντελεστές του Δ(χ)είναι: 2, 4,-5,3,-2 ενώ οι αντίθετοι του δ(χ) είναι -2,3. Άρα θα κατασκευαστεί πίνακας με πέντε στήλες και τέσσερεις γραμμές:

2	4	-5		3	-2		-2,3
		6		0	3
	-4	0		-2
2	0	1		1	1

Άρα θα είναι: π(x)=2x²+1 και υ(x)=x+1

iii) P(x) =24x⁵+20x³-16x²-15, g(x) =6x²+5 παρατηρώ πως ο βαθμός του συντελεστή με τον μεγαλύτερο βαθμό είναι διάφορος της μονάδας. Θα διαιρέσω με 6, άρα οι συντελεστές γίνονται: 4,0,10/3,-8/3,0,-5/2 και 0,-5/6, άρα το σχήμα έχει ως εξής:

4	0	10/3	-8/3		0	-5/2	0,-5/6
		-10/3	0		0	20/9 Όμως, αφού διαίρεσα με 6, θα πολλ/άσω το υπόλοιπο με 6
	0	0	0		0
4	0	0	-8/3		0	-5/18

Και τελικά π(x)=4x³-8/3, ενώ υ(x)=-5/3

Άσκηση: εάν Ρ(x)=αx⁵+βx⁴+1 και g(x)=(x-1)², να βρεθούν τα α και β, ώστε g(x) να είναι παράγοντας του Ρ(x).

Λύση: g(x)=(x-1)²=x²-2x+1, άρα οι αντίθετοι συντελεστές του δ(χ) είναι 2,-1 ενώ οι συντελεστές του Δ(χ) είναι α,β,0,0,0,1

α	Β	0	0		0	1	2,-1
		-α	-2α-β		-2β-3α	-4α-3β Αφού θέλω τέλεια διαίρεση, τότε υ(χ)=0,δηλαδή: 5α+4β=0 4α+3β=1
	2α	2β+4α	4β+6α		8α+6β
α	Β+2α	2β+3α	4α+3β		5α+4β	1-4α-3β

Και προκύπτουν και

Β=-5

Α=4

Άσκηση 5 σελίδα 140 Β΄ ομάδας

Ρ(x)= αx^v+1+βx^v+1, g(x)=x²-2x+1 Καταρχήν Ρ(-1)=0 ↔ α+β=-1 (1)

α	β	0	………….	0		0	1	2,-1
		-α	…………..	………		……….	…..
	2α	4α+2β	…………..	………..		……….
α	2α+β	3α+2β	…………..	(ν-1)(α+β)+α		ν(α+β)+α	…..

-ν+α=0↔

Α=ν

Άρα και

Β=-1-ν

Σελίδα 139, Ρ(χ)=χ⁵+7, g(x)=x³-1:

1	0	0		0	0	7	0,0,1
				1	0	0
		0		0	0	Άρα π(x)=x2 και υ(x)=x2+7
	0	0		0
1	0	0		1	0	7

Άσκηση 2 ii σελίδα 154 Γ΄ ομάδα :

Ρ(x)= (v-2)x^v-vx^v-1+vx-v+2, g(x)=(x-1)³=x³-3x²+3x-1

Οι συντελεστές Δ(χ) είναι (ν-2), -ν, ν, -ν+2, ενώ οι αντίθετοι του δ(χ) είναι 3,-3,1 , και αφού ο συντελεστής του τριτοβάθμιου όρου είναι άσσος, το σχήμα έχει ως εξής:

ν-2	-ν	0	0	……	0		0	ν	-ν+2	3,-3,1
			ν-2	……	4ν-20		3ν-12	2ν-6	ν-2
		6-3ν	18-6ν	……	36-9ν		18-6ν	-3ν+6
	3ν-6	6ν-18	9ν-36	……	6ν-18		3ν-6
ν-2	2ν-6	3ν-12	4ν-20	……	ν-2		0	0	0

Αφού το πηλίκο μηδέν,g(x)|P(x)

Να παρατηρήσω πως ενώ στο πάνω ερώτημα ζητούσε και το π(χ), εδώ απλά λέει να αποδείξω. Με το σχήμα Horner το αποδεικνύω, ενώ με το <<σχήμα των Τριών>> βρίσκω και το π(χ) εύκολα! Στις λύσεις ξεκινά έξυπνα με παρ/ποίηση, ενώ μετά υπάρχει πιθανότητα λάθους, ενώ εδώ κάνω απλούς πολ/σμούς και προσθέσεις. Μάλιστα μπορώ να αναφέρω πως το σχήμα Horner είναι η απλούστερη μορφή <<σχήματος Τριών>>, με πρωτοβάθμιο δ(χ)… 

...Και μια ακόμη πρόταση από τον Κωνσταντίνο:

ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΓΡΑΦΗ

ΔΙΑΙΡΕΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Έστω ο αριθμός ω, που δεν είναι πρώτος και ψάχνω τους διαιρέτες του. Αφού δεν είναι πρώτος, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο φυσικών αριθμών, έστω χ, ψ ↔ χ ψ= ω. Έχοντας αυτό ως αξίωμα, μπορούμε να γράφουμε τους διαιρέτες κατά ζεύγη, ξεκινώντας από το μεγαλύτερο αριθμό χ και γράφοντας με φθίνουσα σειρά τα άλλα πολ/σια. Βέβαια, θα μεγαλώνει το ψ όσο μικραίνει το χ. Ξεκινάμε από την ρίζα του αριθμού, καθώς είναι η ιδανική περίπτωση που το χ ταυτίζεται με το ψ, αν είναι τέλειο τετράγωνο. Αν η ρίζα είναι άρρητος, τότε εξετάζω αν ο φυσικός που προσεγγίζει προς τα κάτω είναι διαιρέτης κ.ο.κ…

Π.χ.: Να γραφούν οι φυσικοί διαιρέτες των 24,25,36:

Δ24: √24≈4.898979….., ξεκινώ από το 4 και γράφω τα ζεύγη:

6, 8, 12, 24

4, 3, 2, 1

Δ25:√25=5, ξεκινώ από το 5 και γράφω: 

25

5

1

Δ36:√36=6, ξεκινώ από το 6 και γράφω: 

9, 12, 18, 36

6

4, 3, 2, 1

Είναι μια μέθοδος με την οποία είμαστε σίγουροι πως δεν ξεχνάμε διαιρέτες, και δεν καθυστερούμε, καθώς αν τα γράφαμε κλασικά σε μία σειρά θα χρειαζόταν να εξετάσουμε αν είναι διαιρέτης ο αριθμός ή όχι και μετά χάνουμε χρόνο, αφού ξεκινώντας από την ρίζα του αριθμού είναι πολύ λιγότεροι οι αριθμοί, ενώ δεν χάνω διαιρέτες. Αντιλαμβάνεστε πόσο ωφελούμαστε από αυτή την μέθοδο…

Η δύναμη της Λογικής

Παρουσιάζοντας τις προτάσεις του ο Κωνσταντίνος εξομολογείται  πως πιστεύει στη δύναμη της λογικής και στη δύναμη της Επιστήμης. Ελπίζει σε ένα δημιουργικό μέλλον, όπου οι νέοι θα μπορούν να πραγματοποιήσουν τα όνειρά τους αξιοποιώντας τις δυνάμεις τους. Ευχόμαστε από καρδιάς να πετύχει όλους τους στόχους του και να ανέβει στο πιο ψηλό σκαλί που οδηγεί στων Ιδεών την Πόλη...


Κ.Π. Καβάφης

Το πρώτο σκαλί


Εις τον Θεόκριτο παραπονιούνταν
μια μέρα ο νέος ποιητής Ευμένης·
«Τώρα δυο χρόνια πέρασαν που γράφω
κ’ ένα ειδύλλιο έκαμα μονάχα.
Το μόνον άρτιόν μου έργον είναι.
Aλλοίμονον, είν’ υψηλή το βλέπω,
πολύ υψηλή της Ποιήσεως η σκάλα·
κι απ’ το σκαλί το πρώτο εδώ που είμαι
ποτέ δεν θ’ ανεβώ ο δυστυχισμένος.»
Είπ’ ο Θεόκριτος· «Aυτά τα λόγια
ανάρμοστα και βλασφημίες είναι.
Κι αν είσαι στο σκαλί το πρώτο, πρέπει
νάσαι υπερήφανος κ’ ευτυχισμένος.
Εδώ που έφθασες, λίγο δεν είναι·
τόσο που έκαμες, μεγάλη δόξα.
Κι αυτό ακόμη το σκαλί το πρώτο
πολύ από τον κοινό τον κόσμο απέχει.
Εις το σκαλί για να πατήσεις τούτο
πρέπει με το δικαίωμά σου νάσαι
πολίτης εις των ιδεών την πόλι.
Και δύσκολο στην πόλι εκείνην είναι
και σπάνιο να σε πολιτογραφήσουν.
Στην αγορά της βρίσκεις Νομοθέτας
που δεν γελά κανένας τυχοδιώκτης.
Εδώ που έφθασες, λίγο δεν είναι·
τόσο που έκαμες, μεγάλη δόξα.»



(Από τα Ποιήματα 1897-1933, Ίκαρος 1984)